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魔方三层公式等差数列及其前n项和习题与参考答案

时间:2021/3/28 10:14:18  作者:个挨挨  来源:旦撒  查看:611  评论:0
内容摘要: 知的意思-多少级去外域精心整理 第六章 第二节 1.{an}为等差数列,a10=33,a2=1,Sn为数列{an}的前n项和,则S20-2S10等于( ) A.40C.400 B.200 D.20 解析:选CS20-2S10=-2...

知的意思-多少级去外域


精心整理
第六章 第二节
1.{a
n
}为等差数列,a
10
=33,a
2
=1,S
n
为数列{a
n
}的前 n项和,则S
20
-2S
10
等于( )
A.40
C.400
B.200
D.20
解析:选C S
20
-2S
10
=-2×
=10(a
20
-a
10
)=100d.又a
10
=a
2
+8d,∴33=1+ 8d.
∴d=4.∴S
20
-2S
10
=400.故选C. 2.已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足-=1,则数列{ a
n
}的公差是( )
A.
C.2
B.1
D.3
解析:选C 因为S
n
=,所以=.由-=1,得-=1,即a3
-a
2
=2,所以数列{a
n
}的公差为2.
故选C .
3.(2014·临川一中质检)已知数列{a
n
},{b
n
} 都是公差为1的等差数列,其首项分别为a
1
,b
1

且a
1
+b
1
=5,a
1
,b
1
∈N
*
.设c
n
=a
b
n
(n∈N
*
),则数列{c< br>n
}的前10项和等于( )
A.55
C.85
B.70
D.100
解析:选C 由题知a
1
+b1
=5,a
1
,b
1
∈N
*
.设c
n
=a
b
n
(n∈N
*
),则数列{c
n
} 的前10项和等于
a
b
1
+a
b
2
+…+a
b
10
=a
b
1
+a
b
1

1
+…+a
b
1

9
,a
b
1
=a
1
+(b
1
-1)=4,∴a
b
1
+a
b
1

1
+…+a
b
1

9
=4+ 5
+6+…+13=85,选C.
4.(2014·中原名校联盟摸底考试)若数列{an
}通项为a
n
=an,则“数列{a
n
}为递增数列”的一< br>个充分不必要条件是( )
A.a≥0
C.a>0
B.a>1
D.a<0
解析:选B 数列{a
n
}为递增数列, 则a>0,反之a>0,则数列{a
n
}为递增数列,a>0是数
列{a
n< br>}为递增数列的充要条件,“数列{a
n
}为递增数列的一个充分不必要条件是a的范围 比a>0
小,即包含于a>0中,故选B.

精心整理
5.(2012· 浙江高考)设S
n
是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a
n
}的前n项和 ,则下列命题错误的
是( )
A.若d<0,则数列{S
n
}有最大项
B.若数列{S
n
}有最大项,则d<0
C.若数列{S
n
}是递增数列,则对任意n∈N
*
,均有S
n
>0
D.若对任意 n∈N
*
,均有S
n
>0,则数列{S
n
}是递增数列
解析:选C 设数列{a
n
}的首项为a
1
,则S
n
=na
1
+n(n-1)d=n
2
+n.由二次函数性质知S
n< br>有最
大值时,则d<0,故A、B正确;因为{S
n
}为递增数列,但d>0, 不妨设a
1
=-1,d=2,显然{S
n
}
是递增数列,但S
1
=-1<0,故C错误;对任意n∈N
*
,S
n
均大于0时,a
1
>0,d>0,{S
n
}必是递增
数列,D正确.
6. 设等差数列{a
n
},{b
n
}的前n项和分别为S
n
,T
n
,若对任意自然数n都有=,则+的值为( )
A.
C.
B.
D.
解析:选A ∵{a
n
},{b
n
}为等差数列,
∴+=+==.
∵====,
∴=.故选A.
7.(2011·广东高考)等差数列{a
n
}前9项的和等于前4项的和.若a
1
=1,a
k
+a
4
=0,则k=
________.
解析:10 由题意S
9
=S< br>4
得a
5
+a
6
+a
7
+a
8+a
9
=0.
∴5a
7
=0,即a
7
=0.
又a
k
+a
4
=0=2a
7
,a
10+a
4
=2a
7
,∴k=10.
8.(2014·阜宁中学调 研)在等差数列{a
n
}中,a
2
=6,a
5
=15,b< br>n
=a
2n
,则数列{b
n
}的前5项和
S
5
=________.
解析:90 在等差数列{a
n
}中,由a
2
=6,a
5
=15易知公差d==3,
∴a
n
=a< br>2
+(n-2)d=3n,∴b
n
=a
2n
=6n,
所以数列{b
n
}为公差为6的等差数列,
精心整理
所以前5项和S
5
=(b
1
+b
5
),
又易知b
1
=6,b
5
=30,所以S
5
=90.
9.(2014·江苏调研)对于数列{a
n
},定义数列{a
n

1
-a
n
}为数列{a
n
}的差数列.若a
1=2,{a
n
}
的“差数列”的通项公式为2
n
,则数列{a< br>n
}的前n项和S
n
=________.
解析:2
n

1
-2 由已知a
n

1< br>-a
n
=2
n
,a
1
=2得a
2
- a
1
=2,0=2
2
,…,a
n
-a
n

1
=2
n

1
,由累
加法得a
n
=2+2+2
2
+…+2
n

1
=2
n
, 从而S
n
==2
n

1
-2.
10.(2014 ·哈尔滨联考)已知各项为正数的等差数列{a
n
}的前20项和为100,那么a
7
a
14
的最大
值为________.
解析:25 因为{an
}为各项为正数的等差数列,且前20项和为100,所以=100,即a
1
+ a
20
=10,
所以a
7
+a
14
=10.所以 a
7
·a
14

2
=25,
当且仅当a
7
=a
14
=5时等号成立.
11.(201 3·新课标全国高考Ⅱ)已知等差数列{a
n
}的公差不为零,a
1
=25, 且a
1
,a
11
,a
13
成等
比数列.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求a
1
+a
4
+a
7
+…+a
3n

2
.
解:(1)设{a
n
}的公差为d.
由题意得a=a
1
a
13

即(a
1
+ 10d)
2
=a
1
(a
1
+12d).
于是d(2a
1
+25d)=0.
又a
1
=25,所以d=-2或d=0(舍去).
故a
n
=-2n+27.
(2)令S
n
=a
1< br>+a
4
+a
7
+…+a
3n

2
.
由(1)知a
3n

2
=-6n+31,
所以数列{a
3n

2
}是首项为25,公差为-6的等差数列.
从而S
n
=(a
1
+a
3n

2
)=(-6n+56)=-3n
2
+28n.
精心整理
12.(2014 ·黑龙江联考)已知各项都不相等的等差数列{a
n
}的前6项和为60,且a
6为a
1
和a
21
的等比中项.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足b
n

1
-b
n
=a
n
(n∈N< br>*
),且b
1
=3,求数列的前n项和T
n
.
解:(1)设等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0),
则解得
∴a
n
=2n+3.
(2)由b
n

1
-b
n
=a
n
,得b
n
-b
n

1
=a
n

1
(n≥2,n∈N
*
),
b
n
=(b
n
-b
n

1
)+(b
n

1
-b
n

2
)+…+(b
2-b
1
)+b
1

=a
n

1
+a
n

2
+…+a
1
+b
1

=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),
∴b
n
=n(n+2),n∈N
*
.
∴==.
∴T
n

==.
13.(2014·济宁模拟)已知数列{a< br>n
}的前n项和S
n
=-a
n

n

1
+2(n∈N
*
),数列{b
n
}满足b
n
= 2
n
·a
n
.
(1)求证:数列{b
n
}是等差 数列,并求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设c
n
=log2
,数列的前n项和为T
n
,求满足T
n
<(n∈N
*
)的n的最大值.
(1)证明:在S
n
=-a
n

n

1
+2中,
令n=1,可得S
1
=-a
1
-1+2=a
1
,得a
1
=.
当n≥2时,S
n

1
=-a
n

1

n

2
+2,
∴a
n
=S
n
-S
n
1
=-a
n
+a
n

1

n

1

即2a
n
=a
n

1

n

1
.
∴2
n
·a
n
=2< br>n

1
·a
n

1
+1.
∵b< br>n
=2
n
·a
n
,∴b
n
=b
n< br>-
1
+1.
精心整理
又b
1
=2a
1< br>=1,∴{b
n
}是以1为首项,1为公差的等差数列.
于是b
n
=1+(n-1)·1=n,∴a
n
=.
(2) 解∵c
n
=log
2
=log
2
2
n
=n .
∴==-.
∴T
n
=++…+
=1+--.
由T
n
<,得1+--<,
即+>,f(n)=+单调递减,
∵f(3)=,f(4)=,f(5)=,
∴n的最大值为4.
1.(2014· 石家庄模拟)已知数列{a
n
}(n∈N
*
)中,a
1
=, a
n
=2-(n≥2,n∈N
*
),数列{b
n
}满足b< br>n
=(n∈N
*
),则关于数列{b
n
}的判断正确的是( )
A.数列{b
n
}一定是等差数列
B.数列{b
n
}一定是等比数列
C.数列{b
n
}可以是等差数列,也可以是等比数列
D.数列{b
n
}既不是等差数列,也不是等比数列
解析:选A 因为a< br>n
=2-(n≥2,n∈N
*
),b
n
=,所以当n≥2时, b
n
-b
n

1
=-=-=-=1,
又b
1
==-,所以数列{b
n
}是以-为首项,1为公差的等差数列,选A.
2.已知{a
n
}是等差数列,S
n
为其前n项和,若S
21
=S
4000
,O为坐标原点,点P(1,a
n
),Q(2011,
a
2011
),则·等于( )
A.2011
C.0
B.-2011
D.1
解析:选A 方法一:由已知S
21=S
4000
,则a
22
+a
23
+…+a
4 000
=0,设数列{a
n
}的公差为d,
则=0,又a
22
+a
4000
=2a
2011
,所以a
2011
=0,
∴·=2011+a
n
·a
2011
=2011
方法二: 设等差数列{a
n
}的公差为d,因为S
21
=S
4000
,且等差数列前n项和公式可看成二次函
精心整理
数,所以由对称性可得S
1
=S
4020
,则有a
1
=4020a
1
+d,整理得a
2011
=0,所以·=2011+a
n
·a
2011
=< br>2011.
3.(2014·孝感高中调研)已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函 数,数列{a
n
}是等差数
列,a
3
>0,则f(a
1)+f(a
3
)+f(a
5
)的值( )
A.恒为正数
C.恒为0
B.恒为负数
D.可以为正数也可以为负数
解析:选A 因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0)得f(0)=0,又f( x)是R上的单
调递增函数,所以当x>0时有f(x)>f(0)=0,当x<0时有f(x)<f( 0)=0,因为a
3
>0,所以有f(a
3
)
>0.因为数列{a< br>n
}是等差数列,所以=a
3
>0从而a
1
+a
5< br>>0,所以a
1
>-a
5
,所以f(a
1
)>f(- a
5
).又
f(-a
5
)=-f(a
5
),所以f (a
1
)+f(a
5
)>0,从而有f(a
1
)+f(a< br>3
)+f(a
5
)=[f(a
1
)+f(a
5
)]+f(a
3
)>0.故选A.
4.(2014·西北工大附中月考)若有穷数 列a
1
,a
2
,…,a
n
(n是正整数)满足a
1
=a
n
,a
2
=a
n

1
,…,
a
n
=a
1
,即a
i
=a
n
-< br>i

1
(i是正整数,且1≤i≤n),就称该数列为“对称数列”.已知数列 {b
n
}是项数
为7的“对称数列”,且b
1
,b
2
,b
3
,b
4
成等差数列,b
1
=2,b
4=11,则数列{b
n
}的项为________.
解析:2,5,8,11,8,5,2 设数列b
1
,b
2
,b3
,b
4
的公差为d,则b
4
=b
1
+3d= 2+3d=11,解得d
=3,所以数列{b
n
}的项为2,5,8,11,8,5, 2.
5.(2014·湛江检测)已知各项为正数的数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
,且对任意正整数n有a
2
a
n

S
2< br>+S
n
.
(1)求a
1
的值;
(2)求数列{a
n
}的通项公式;
(3)若数列的前n项和为T
n
,求T
n
的最大值.
解: (1)取n=1,a
2
a
1
=S
2
+S
1
=2a
1
+a
2
,①
取n=2,a=2a
1
+2a
2
,②
②-①得,a
2
(a
2
-a
1
)=a
2
,a
2
>0,∴a
2
-a
1
=1,③
由①③组成方程组解得,a
1
=1+或a
1
=1-.
∵a
n
>0,∴a
1
=1-不合题意,舍去.∴a
1
=1+.
(2)由(1)可得a
2
=2+,
当n≥2时,(2+)a
n=S
2
+S
n
,(2+)a
n

1
= S
2
+S
n

1

精心整理
两式相减 ,得(2+)a
n
-(2+)a
n

1
=a
n
∴(1+)a
n
=(2+)a
n

1
,∴ a
n
=a
n

1
(n≥2).
∴数列{a
n
}是以a
1
=1+为首项,公比q=的等比数列.
∴a
n
=(1+)()
n

1
.
(3) 设b
n
=log
8
=1-log
8
()
n

1
=1-(n-1)log
8

=1-(n-1).
∴数列{b
n
}为单调递减的等差数列,公差为-.
由b
n
=1-(n-1)≥0,解得n≤7,
∴b
1
>b
2
>…>b
6
>b
7
=0,0>b
8
>b
9
>…,
∴当n=6或n=7时,T
n
有最大值.且最大值为T< br>6
=T
7
==.

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