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汇总的公式汇总高中数学排列组合相关公式.doc

时间:2021/4/10 10:03:52  作者:魔剂爱  来源:为方  查看:394  评论:0
内容摘要: 千里之行的下一句-sad的名词精品文档 排列组合公式 排列定义 从n个不同的元素中,取r个不重复的元素,按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。...

千里之行的下一句-sad的名词


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排列组合公式

排列定义 从n个不同的元素中,取r个 不重复的元素,按次序排列,称
为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r) 表示。排列的
个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组 成一个子集,而不考虑其元
素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示,组合的个数用C(n,r)表示,对应于可重
组合
有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一,原因在于

(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象
思维能力;
(2)限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联
词和量词)准确理解;
(3)计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理的计算方案时需要的
思维量较大;
(4)计算方案是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、
原理,并具有 较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用

(1)加法原理和分类计数法

1.加法原理

2.加法原理的集合形式

3.分类的要求

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每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务;两类不同办法中的具体方
法,互不相同( 即分类不重);完成此任务的任何一种方法,都属于某一类(即分
类不漏)

(2)乘法原理和分步计数法

1.乘法原理

2.合理分步的要求

任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这 n步才能完
成此任务;各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成
此事 的方法也不同
例1:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数
集合A为数字不重复的九位数的集合,S(A)=9!
集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合,规则为前6位数相同的元 素构成一个子集。显然各子
集没有共同元素。每个子集元素的个数,等于剩余的3个数的全排列,即3!
这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系,则
S(A)=S(B)*3!
S(B)=9!3!
这就是我们用以前的方法求出的P(9,6)

例2:从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法?
设不同选法构成的集 合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分
为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的 数组成一个子集,则每个子集都是
某6个数的全排列,即每个子集有6!个元素。这时集合C的元素与B 的子集存
在一一对应关系,则
S(B)=S(C)*6!
S(C)=9!3!6!
这就是我们用以前的方法求出的C(9,6)
以上都是简单的例子,似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公
式的来源,也是对公 式更深刻的认识。大家可能没有意识到,在我们平时数物品
的数 量时,说1,2,3,4,5,一共有 5个,这时我们就是在把物品的集合与
集合(1,2,3,4,5)建立一一对应的关系,正是因为物品 数量与集合(1, 2,
3,4,5)的元素个数相等,所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目 的
是把这些潜在的思路变得清晰,从而能用它解决更复杂的问题。

例3:9个人坐成一圈,问不同坐法有多少种?
9个人排成一排,不同排法有9!种,对应集合为前面的集合A
9个人坐成一圈的不同之处 在于,没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的
坐法的集合。以任何人为起点,把圈展开成直线,在 集合A中都对应不同元素,
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但在集合D中相当于同一种坐法,所以集合D中每个元素 对应集合A中9个元素,
所以S(D)=9!9

我在另一篇帖子中说的方法是先 固定一个人,再排其他人,结果为8!。这个方
法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。 用集合的思路解决问题
的关键就是寻找集合之间的对应关系,使一个集合的子集与另一个集合的元素形< br>成一一对应的关系。

例4:用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重 复的九位数,但要求1排在
2前面,求符合要求的九位数的个数。
集合A为9个数的全排列 ,把集合A分为两个集合B、C,集合B中1排在2前
面,集合C中1排在2后面。则S(B)+S(C )=S(A)
在集合B、C之间建立以下对应关系:集合B中任一元素1和2位置对调形成的
数字,对应集合C中相同数字。则这个对应关系为一一对应。因此S(B)=S(C)
=9!2

以同样的思路可解出下题:
从1、2、3…,9这九个数中选出3个不同的数作 为函数y=ax*x+bx+c的系数,
且要求a>b>c,问这样的函数共有多少个?

例5:M个球装入N个盒子的不同装法,盒子按顺序排列。
这题我们已经讨论过了,我再用更形象的方法说说。
假设我们把M个球用细线连成一排,再 用N-1把刀去砍断细线,就可以把M个球
按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应 一种砍线的方法。
而 砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式(如两把刀排在一起,就表示相应的盒子里球数为0)。所以方法总数为C(M+N-1,N-1)

例6:7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻, 则共
有________排法.
解:甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分,设四部分人数 分别为X1,X2,X3,
X4,其中X1,X4》=0,X2,X3》0
先把其余4人看作一样,则不同排法为方程
X1+X2+X3+X4=4的解的个数,令X2=Y2+1,X3=Y3+1
化为求X1 +Y2+Y3+X4=2的非负整数解的个数,这与把2个球装入4个盒子的方法
一一对应,个数为C( 5,3)=10
由于其余四人是不同的人,所以以上每种排法都对应4个人的全排列4!,所以不同排法共有C(5,3)*4!=240种。

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