综合趣事

净利率公式排列组合和排列组合计算公式.

时间:2021/4/10 10:03:38  作者:了我我  来源:方为  查看:244  评论:0
内容摘要: 叫做和叫作的区别-i怎么发音排列组合公式排列组合计算公式 排列 P------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. 排列 把5本书分给3个人,有几种分...

叫做和叫作的区别-i怎么发音


排列组合公式排列组合计算公式
排列 P------和顺序有关

组合 C -------不牵涉到顺序的问题
排列分顺序,组合不分
例如 把5本不同的书分给3个人,有几种分法. 排列
把5本书分给3个人,有几种分法 组合
1.排列及计算公式

从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一 定的顺序排成一
列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个
不同元素中取出m (m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个
不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 p(n,m)表示.

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!(n-m)!(规定0!=1).

2.组合及计算公式

从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n
个不同元素中取出m个元素的一个组合;从 n个不同元素中取
出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取
出m个元 素的组合数.用符号
精选


c(n,m) 表示.

c(n,m)=p(n,m)m!=n!((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);

3.其他排列与组合公式

从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)r=n!r(n-r)!.

n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元
素的全排列数为

n!(n1!*n2!*...*nk!).

k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为
c(m+k-1,m).
排列(Pnm(n为下标,m为上标))

Pnm=n×(n-1)....(n -m+1);Pnm=n!(n-m)!(注:!
是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!
=1;Pn1(n为下标1为上标)=n

精选

组合(Cnm(n为下标,m为上标))

Cnm=PnmPmm ;Cnm=n!m!(n-m)!;Cnn(两个n
分别为上标和下标) =1 ;Cn1(n为下标1为上标)=n;
Cnm=Cnn-m

2008-07-08 13:30

公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
!-阶乘 ,如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到(n-r+1)个数为
n-(n-r+1)=r
举例:
精选

Q1: 有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少
个三位数?
A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有
要求的,既属于“排列P”计算范畴。
上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会
出现988,997之类的组合, 我们可以这么看,百 位数有9种可
能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种
可能,最终共 有9*8*7个三位数。计算公式=P(3,9)=
9*8*7,(从9倒数3个的乘积)
Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,
代表“三国联盟”,可以组 合成多少个“三国联盟”?
A2: 213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三< br>个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范
畴。
上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉
属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7 3*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析
例1 设有3名学生和4个课外 小组.(1)每名学生都只
参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而
精选

且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?
解(1)由 于每名学生都可以参加4个课外小组中的
任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有

种不同方
法.
(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且
每个小组至多有一名学生参加,因此共有

种不同方法.
点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都
用乘法原理进行计算.
例2 排成一行,其中

不排第一,

不排第二,

不排第
三,

不排第四的不同排法共有多少种?
解 依题意,符合要求的排法可分为第一个排






的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方
式逐一排出:
∴ 符合题意的不同排法共有9种.
点评 按照分“类”的思路,本题应 用了加法原理.为
把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做
法,也是解决计 数问题的一种数学模型.
例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出
结果.
(1)高三年级学生会有11 人:①每两人互通一封信,共
通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?
(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组
长和一名副组长,共有多少种不同的选法?② 从中选2名参加
省数学竞赛,有多少种不同的选法?
(3)有2,3,5,7,11, 13,17,19八个质数:①从中
任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两
精选

个求它的积,可以得到多少个不同的积?
(4)有8盆花:①从中选 出2盆分别给甲乙两人每人一盆,
有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同
的选法?
分析 (1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲
的信是不同的两封 信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人
互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序
无关,所以是组合问题.其他类似分析.
(1)①是排列问题,共用了

封信;②是组合问题,共需握


(次).
(2)①是排列问题,共有

(种)不同的选法;②是组合问
题,共有

种不同的选法.
(3)①是排列问题,共有

种不同的商;②是组合问题,共


种不同的积.
(4)①是排列问题,共有

种不同的选法;②是组合问题,
共有

种不同的选法.
例4 证明


证明 左式



右式.
∴ 等式成立.
点评 这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的
形式,并利用阶乘的性质

,可使变形过程得以简化.
例5 化简


解法一 原式


精选



解法二 原式


点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得
以简化.
例6 解方程:(1)

;(2)


解 (1)原方程




解得



(2)原方程可变为
∵ ,


∴ 原方程可化为


即 ,解得


第六章 排列组合、二项式定理
一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些
简单的问题.
2.理 解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和
组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题 .
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论
证一些简单问题.
二、知识结构
精选


三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此
两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据.
例1 5位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只
报一所,不同的报名方法共有多少种?
解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报
名,因而每个学生都有3种不同的 报名方法,根据乘法原理,
得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=3(种)
(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中
较为独特,它研 究的对象以及研 究问题的方法都 和前面掌握
的知识不同,内容抽象,解题方法比较灵活,历届高考主要考
查排列的应用题,都是 选择题或填空题考查.
例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其
中小于50 000的 偶数共有( )
A.60个 B.48个 C.36
个 D.24个
解 因为要求是偶数,个位数只能是2或4的排法有P
2
;小
于50 000的五位数,万 位只能是1、3或2、4中剩下的一个的
13
排法有P
3
;在首末两位数排定 后,中间3个位数的排法有P
3

131
得P
3
P
3
P
2
=36(个)
由此可知此题应选C.
例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格
精选
5
1

里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不同
的填法有多少种?
解: 将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的
数字均不相同的填法有3种,即214 3,314 2,4123;同样将数
字1填入第3方格,也对应着3种填法;将数字1填入第4方
格,也对 应3种填法,因此共有填法为
3P
3
=9(种).
例四 例五可能有问题,等思考
1


三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明 历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的
应用题,且基本上都是由选择题或填空题考查.
例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至
少有甲型与乙型电视机各1台, 则不同的取法共有( )
A.140种 B.84种 C.70
种 D.35种
解: 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法 有C
4
·C
5
21
种;甲型2台乙型1台的取法有C
4·C
5

根据加法原理可得总的取法有
C
4
·C< br>5
+C
4
·C
5
=40+30=70(种 )
可知此题应选C.
2221
12
精选

例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3
项,乙公司承包1 项,丙、丁公司各承包2项,问共有多少种
承包方式?
解: 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C
8
种;
乙公司从甲公司挑选后余下的5 项工程中选出1项工程的方式有
1
C
5
种;
丙公司从甲乙两公司挑 选后余下的4项工程中选出2项工程的方
2
式有C
4
种;
丁公司从 甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2
2
项工程的方式有C
2
种 .
根据乘法原理可得承包方式的种数有C 8×C
5
×C
4
×C
2
=

×1=1680(种).
(四)二项式定理、二项展开式的性质
说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在
数学中它是常用的基础知识 ,从1985年至1 998年历届高考均
有这方面的题目出现,主要考查二项展开式中通项公式等,题型
主要为选择 题或填空题.
例6 在(x-

)的展开式中,x的系数是( )
A.-27C
10
B.27C
10
C.-9C
10

4
D.9C
10

解 设(x-

)的展开式中第γ+1项含x,
因T
γ+1106
646
106
3122
3
=C
γ
10< br>x
10-γ
(-

),10-γ=6,γ=4
444
γ
于是展开式中第5项含x 6,第5项系数是C
10
(-

)=9C
10

故此题应选D.
精选

例7 (x-1)-(x-1)+(x-1) -(x-1)+(x-1)的展开式中

的x的系数等于


解:此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项
的和,则其和为 在(x-1)中含x的项是C
6
x(-1)=-20x,因此展开式中x的系
数是 -2 0.
(五)综合例题赏析
例8 若(2x+

)=a
0
+a
1
x+a
2
x +a
3x+a
4
x,则(a
0
+a
2
+a
4
)-(a
1
+a
3
)
的值为( )
423422
6333332
235
A.1 B.-1
C.0 D.2
解:A.
例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每
校分配1名医生和2 名护士,不同的分配方法共有( )
A.6种 B.12
种 C.18
种 D.24种
解 分医生的方法有P
2
=2种,分护士方法有C
4
=6种,所以
共有6×2=12种不同的分配方法。
应选B.
例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其 中
至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同取法共有
( ).
A.140种 B.84
种 C.70种 D.35

22
精选

解:取出的3台电视机中,甲型电视机分为恰有一台和恰有二台
两种情形.
∵C4
·+C
5
·C
4
=5×6+10×4=70.
∴应选C.
例11 某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2 名代
表,至少有1名女生当选的不同选法有( )
A.27种 B.48种 C.21
种 D.24种
解:分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类:
∵C
3
·C 7+C
3
=3×7+3=24,
∴应选D.
例12 由数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的 六位
数,其中个位数字小于十位数字的共有( ).
A.210个 B.300个
C.464个 D.600个
解:先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P
5
·P
5
5
=600个.
由对称性,个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六
位数各占一半.
∴有

×600=300个符合题设的六位数.
应选B.
例13 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有
( ).
A.70个 B.64个
精选
221
112
1

C.58个 D.52个
解:如图,正方体有8个顶点,任取4个的组合数为C
8
=70个. < br>其中共面四点分3类:构成侧面的有6组;构成垂直底面的对角
面的有2组;形如(ADB
1
C
1
)的有4组.
∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)
应选C.
例14 如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱 锥的棱
所在的12条直线中,异面直线共有( ).
A.12对 B.24

C.36对 D.48

解:设正六棱锥为O—ABCDEF.
任取一侧棱OA(C
6
)则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.
∴共有C6×4=24对异面直线.
应选B.
例15 正六边形的中心和顶点共7个点,以其中三个点 为顶
点的三角形共 个(以数字作答).
解:7点中任取3个则有C
7
=35组.
其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).
∴三角形个数为35-3=32个.
例16 设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3
个元素组成的子集数为T,则

的值
为 。
精选
4
1
1
3

解 10个元素的集合的全部子集数有:
S=C
10
+C
10
+C10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C
10
+C0
1 0
=2 10=1024
其中,含3个元素的子集数有T=C
10
=120


=


例17 例17 在50件产品 n 中有4
件是次品,从中任意抽了5件 ,至少有3件是次品的抽法共
种(用数字作答).
解:“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.
∴C4
·C
46
+C
4
·C
46
=4186(种)
例18 有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、 丙各需
1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共
有( ).
A.1260
种 B.2025种
C.2520
种 D.5040种
解:先从10人中选2个承担任务甲(C
10
)
再从剩余8人中选1人承担任务乙(C 8)
又从剩余7人中选1人承担任务乙(C 7)
∴有C
10
·C 8C 7=2520(种).
应选C.
例19 集合{1,2,3}子集总共有( ).
211
1
1
2
3241
3

精选

A.7个 B.8个 C.6
个 D.5个
解 三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,
由一个元素组成的子集数
C
3
,由二个元素组成的子集数C
3

由3个元素组成的子集数C
3
。由加法原理可得集合子集的总个
数是
C
3
+C
3
+C
3
+1=3+3+1+1=8
故此题应选B.
例20 假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽
取5件,其中至少有两件次品的抽法有( ).
A.C
3
C
197
种 B.C
3
C
197
+C
3
C
197

C.C
200
-C
197
D.C
200
-C
3
C
197

解:5件中恰有二件为次品的抽法为C
3
C
197

5件中恰三件为次品的抽法为C
3
C
197

∴至少有两 件次品的抽法为C
3
C
197
+C
3
C
197.
应选B.
例21 两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,
若 8名学生入座(每人一个座位),则不同座法的总数是
( ).
A.C
8
C
8
B.P
2
C
8
C
8
C.P
8
P
8


5315353
23 32
32
23
55514
232332
123
3
1 2
精选

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