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三次方的公式排列组合公式排列组合计算公式----高中数学!

时间:2021/4/10 10:03:45  作者:一个了  来源:爱方  查看:644  评论:0
内容摘要: 经济生活知识点-山东济南英才学院实用标准 排列组合公式排列组合计算公式 公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。 N-元素的总个数R参与选择的元素个数 !-阶乘 ,如9!=9*8*7*6*5*4*3...

经济生活知识点-山东济南英才学院


实用标准
排列组合公式排列组合计算公式

公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列。
N-元素的总个数
R参与选择的元素个数
!-阶乘 ,如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
从N倒数r个,表达式应该为n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r
举例:
Q1: 有从1到9共计9个号码球,请问,可以组成多少个三位数?
A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排
列P”计算范畴。
上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合,
我们可以这么看,百 位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则
应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8 *7个三位数。计算公式=P(3,9)=
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实用标准
9*8*7,(从9倒数3个的乘积)
Q2: 有从1到9共计9个号码球,请问,如 果三个一组,代表“三国联盟”,
可以组合成多少个“三国联盟”?
A2: 213 组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的,属于“组合C” 计算范畴。
上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组
合数C(3,9)=9*8*73*2*1
排列、组合的概念和公式典型例题分析


例1 设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每
名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?

解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人< br>数,因此共有

种不同方法.

(2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共


种不同方法.

点评 由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.

例2 排成一行,其中

不排第一,

不排第二,

不排第三,

不排第四的不同排法共有多少种?

解 依题意,符合要求的排法可分为第一个排





中的某一个,共3类,每一类中不同
排法可采用画“树图”的方式逐一排出:

∴ 符合题意的不同排法共有9种.

点评 按照分“类”的思路 ,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是
一种具有直观形象的有效做法,也是解决计 数问题的一种数学模型.

例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.

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实用标准
(1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了
一次手,共握了多少次手?

(2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组 长和一名副组长,共有多少种不
同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?

(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商 可以有
多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?

(4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从
中选出2盆放在 教室有多少种不同的选法?

分析 (1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲 的信是不同的两封信,所以与
顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同 一次握手,与顺序
无关,所以是组合问题.其他类似分析.

(1)①是排列问题,共用了

封信;②是组合问题,共需握手

(次).

(2)①是排列问题,共有

(种)不同的选法;②是组合问题,共有

种不同的选法.

(3)①是排列问题,共有

种不同的商;②是组合问题,共有

种不同的积.

(4)①是排列问题,共有

种不同的选法;②是组合问题,共有

种不同的选法.

例4 证明



证明 左式



右式.

∴ 等式成立.

点评 这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质

,可使
变形过程得以简化.

例5 化简



解法一 原式




解法二 原式


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实用标准
点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的
两个性质, 都使变形过程得以简化.

例6 解方程:(1)

;(2)



解 (1)原方程






解得


(2)原方程可变为

∵ ,



∴ 原方程可化为



即 ,解得


第六章 排列组合、二项式定理

一、考纲要求
1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
2.理解排列、 组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,
并能用它们解决一些简单的问题.
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题.
二、知识结构

三、知识点、能力点提示
(一)加法原理乘法原理
说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础,掌握此两原理为处理排 列、
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实用标准
组合中有关问题提供了理论根据.
例1 5位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报
名方法共有多少种?
解: 5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名,因而每个学生都
有3种不同的 报名方法,根据乘法原理,得到不同报名方法总共有
3×3×3×3×3=3
5
(种)
(二)排列、排列数公式
说明 排列、排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中较为独特,它研 究
的对象以及研 究问题的方法都 和前面掌握的知识不同,内容抽象,解题方法比
较灵活,历届高考主要考查排列的应用题,都是选择题或 填空题考查.
例2 由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50 000的
偶数共有( )
A.60个 B.48个 C.36个 D.24个
解 因为要求是偶数,个位数只能是2或4的排法有P
1
2
;小于50 000的五位数,万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P
1
3
;在首末两位数排定 后,
中间3个位数的排法有P
3
3
,得P
1
3
P< br>3
3
P
1
2
=36(个)
由此可知此题应选C.
例3 将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个
数字,则 每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?
解: 将数字1填入第2方格,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填
法有3种,即214 3,314 2,4123;同样将数字1填入第3方格,也对应着3
种填法;将数字1填入第4方格,也对应3种填 法,因此共有填法为
3P
1
3
=9(种).
例四 例五可能有问题,等思考
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实用标准


三)组合、组合数公式、组合数的两个性质
说明 历届高考均有这方面的题目出现,主要考查排列组合的应用题,且基本上
都是由选择题或填空题考查.
例4 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电
视机各1台, 则不同的取法共有( )
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
解: 抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C
1
4
·C
2
5
种;甲型2台乙
型1台的取法有C
2
4
· C
1
5

根据加法原理可得总的取法有
C
2
4
·C
2
5
+C
2
4
·C
1
5=40+30=70(种 )
可知此题应选C.
例5 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1 项,
丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式?
解: 甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C
3
8
种;
乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C
1
5
种;
丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C
2
4
种 ;
丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有
C
2
2
种.
根据乘法原理可得承包方式的种数有C
3
8×C
1
5
×C
2
4
×C
2
2
=

×1=1680(种).
(四)二项式定理、二项展开式的性质
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实用标准
说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则,在数学中它是常用的
基础知识 ,从1985年至1 998年历届高考均有这方面的题目出现,主要考查
二项展开式中通项公式等,题型主要为选择题或填空 题.
例6 在(x-

)
10
的展开式中,x
6
的系数是( )
A.-27C
6
10
B.27C
4
10
C.-9C
6
10
D.9C
4
10

解 设(x-

)
10
的展开式中第γ+1项含x
6

因T
γ+ 1
=C
γ
10
x
10-γ
(-

)
γ
,10-γ=6,γ=4
于是展开式中第5项含x 6,第5项系数是C
4
10
(-

)
4
=9C
4
10

故此题应选D.
例7 (x-1)-(x-1)
2
+(x-1)
3
-(x-1 )+(x-1)

的展开式中的x

的系数等



解:此题可视为首项为x-1,公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和,则其和为
在( x-1)
6
中含x
3
的项是C
3
6
x
3< br>(-1)
3
=-20x
3
,因此展开式中x
2
的系数 是-2 0.
(五)综合例题赏析
例8 若(2x+

)
4
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+a
3
x
3
+a
4
x
4
,则(a
0
+a
2
+a
4
)
2
-(a< br>1
+a
3
)
2
的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
解:A.
例9 2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检,每校分配1名医生和
2 名护士,不同的分配方法共有( )
A.6种 B.12种 C.18种 D.24种
解 分医生的方法有P
2
2=2种,分护士方法有C
2
4
=6种,所以共有6×2=12种
不同的分 配方法。
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实用标准
应选B.
例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其 中至少要有甲型与乙
型电视机各1台,则不同取法共有( ).
A.140种 B.84种 C.70种 D.35种
解:取出的3台电视机中,甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形.
∵C
2< br>4
·+C
2
5
·C
1
4
=5×6+10×4 =70.
∴应选C.
例11 某小组共有10名学生,其中女生3名,现选举2 名代表,至少有1名
女生当选的不同选法有( )
A.27种 B.48种 C.21种 D.24种
解:分恰有1名女生和恰有2名女生代表两类:
∵C
1
3
·C
1
7+C
2
3
=3×7+3=24,
∴应选D.
例12 由数学0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的 六位数,其中个位数字
小于十位数字的共有( ).
A.210个 B.300个
C.464个 D.600个
解:先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有P
1
5
·P 5
5
=600个.
由对称性,个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半.
∴有

×600=300个符合题设的六位数.
应选B.
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实用标准
例13 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有( ).
A.70个 B.64个
C.58个 D.52个
解:如图,正方体有8个顶点,任取4个的组合数为C
4
8
=70个. 其中共面四点分3类:构成侧面的有6组;构成垂直底面的对角面的有2组;
形如(ADB
1
C
1
)的有4组.
∴能形成四面体的有70-6-2-4=58(组)
应选C.
例14 如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱 锥的棱所在的12条直线
中,异面直线共有( ).
A.12对 B.24对
C.36对 D.48对
解:设正六棱锥为O—ABCDEF.
任取一侧棱OA(C
1
6
) 则OA与BC、CD、DE、EF均形成异面直线对.
∴共有C
1
6×4=24对异面直线.
应选B.
例15 正六边形的中心和顶点共7个点,以其中三个点 为顶点的三角形
共 个(以数字作答).
解:7点中任取3个则有C
3
7
=35组.
其中三点共线的有3组(正六边形有3条直径).
∴三角形个数为35-3=32个.
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实用标准
例16 设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集
数为T,则

的值为 。
解 10个元素的集合的全部子集数有: < br>S=C
0
10
+C
1
10
+C
2
1 0
+C
3
10
+C
4
10
+C
5
10
+C
6
10
+C
7
10
+C
8
10
+C
9
10
+C
1
0
10
=2
10=1024
其中,含3个元素的子集数有T=C
3
10
=120


=


例17 例17

在50件产品 n 中有4件是次品,从中任意抽了5件 ,至少有3
件是次品的抽法共
种(用数字作答).
解:“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.
∴C
3
4·C
2
46
+C
4
4
·C
1
46=4186(种)
例18 有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、 丙各需1人承担,从10
人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有( ).
A.1260种 B.2025种
C.2520种 D.5040种
解:先从10人中选2个承担任务甲(C
2
10
)
再从剩余8人中选1人承担任务乙(C
1
8)
又从剩余7人中选1人承担任务乙(C
1
7)
∴有C
2
10
·C
1
8C
1
7=2520(种).
应选C.
例19 集合{1,2,3}子集总共有( ).
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A.7个 B.8个 C.6个 D.5个
解 三个元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一个,由一个元素组成的
子集数
C
1
3
,由二个元素组成的子集数C
2
3

由3个元素组成的子集数C
3
3
。由加法原理可得集合子集的总个数是 C
1
3
+C
2
3
+C
3
3
+ 1=3+3+1+1=8
故此题应选B.
例20 假设在200件产品中有3件是次品,现在从中任意抽取5件,其中至少
有两件次品的抽法有( ).
A.C
2
3
C
3
197
种 B.C
2
3
C
3
197
+C
3
3
C
2
197

C.C
5
200
-C
5
197
D.C
5
200
-C
1
3
C
4
197

解:5件中恰有二件为次品的抽 法为C
2
3
C
3
197

5件中恰三件为次品的抽法为C
3
3
C
2
197

∴至少有两件次品的抽法为C
2
3
C
3
197
+C
3
3
C
2
197
.
应选B.
例21 两排座位,第一排有3个座位,第二排有5个座位,若8名学生入座(每
人一个座位),则不同座法的总 数是( ).
A.C
5
8
C
3
8
B.P
1
2
C
5
8
C
3
8


C.P
5
8
P
3
8

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